Есть ли вероятность внесения записи а трудовую книжку

Добрый день. Ситуации. Следующая: отработала в фирме 4 дня. На пятый отпросилась и меня отпустили. Однако утром выяснилось, что замены мне нет и срочно требовали выйти однако сделать этого я не могла. На что мне ответили приедешь напишешь заявление на увольнение. Хотя официально на работу я не принята. От меня в адрес работодателя было написано лишь заявление о приеме на работу. Ни трудовой договор, ни приказ о приеме на работу и уж тем более никаких соглашений я не подписывала. Трудовая книжка находиться у работодателя. Есть ли вероятность внесения записи а трудовую книжку? Если есть то возможно ли признать ее недействительной на основании ст 66 трудового кодекса? Обоснованно ли их требование писать заявление на увольнение, если трудовой договор действует на основании фактического допущения меня к работе ( но трех дневный срок который дается в этом случае на заключение договора письменно прошел) + неизвестно с ведома уполномоченного работодателем лица я приступила к работе. Есть ли какие то документы подтверждающие уполномоченное ли руководителем лицо допустило меня к работе. Заплатят ли мне за 4 дня работы? Чем я могу апеллировать в этой ситуации? Заранее спасибо .